日本語入力アプリをインストール後、 設定>言語と文字入力 で有効に。
「デフォルト」をタップして使いたいやつに選択。
標準ブラウザのバグです。 Chromeを使うとその現象は起こりませんので、 ブラウザを用途に応じて使い分けましょう。
タスクキラー系のアプリで使いたいIMEを自動停止対象から除外していないとそうなる
nicownn などを使う
最初から入ってるIMEで出来ます。